Question

【題目】幾何探究：

（問題發現）

（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的等邊三角形，BD、CE的關系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請直接寫出答案）

　

（類比探究）

（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的含有角的直角三角形，（1）中的結論還成立嗎?請說明理由；

（拓展延伸）

（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點且相似比為1 : 2的兩個等腰直角三角形，將△ADE繞點A自由旋轉，若，當B、D、E三點共線時，直接寫出BD的長．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．

【解析】

（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；

（2）當在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例；

（3）分兩種情況求出BD的長即可．

（1）相等;

提示：如圖4所示．

∵△ADE和△ABC均為等邊三角形，

∴

∴

∴

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴．

（2）不成立；

理由如下：如圖5所示．

在Rt△ADE和Rt△ABC中，

∵

∴

∴

∵

∴△ABD∽△ACE

∴

∴

故（1）中的結論不成立；

（3）或．

提示:分為兩種情況：

①如圖6所示．

易證：△ABD≌△ACE（SAS）

∴

∴

∴

由題意可知：

設,則

在Rt△BCE中,由勾股定理得：

∴

解之得:（舍去）

∴；

②如圖7所示．

易證：△ABD≌△ACE（SAS），

設，則

在Rt△BCE中，由勾股定理得：

∴

解之得：（舍去）

∴.

綜上所述，或．