Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+3的圖象與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，其圖象頂點為D，OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）填空：點A的坐標

 

、點B的坐標

 

；
（2）求二次函數y=ax²+bx+3及直線CD的解析式；
（3）直線CD與x軸交于點E，是否存在點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接得出點C的坐標，再根據OB=OC，得出點B的坐標，再由tan∠ACO=

1

3

，得出OC=3OA，從而得出點A的坐標；
（2）將AB兩點代入即可得出二次函數y=ax²+bx+3的解析式，再求得點D的坐標，從而得出直線CD的解析式；
（3）分三種情況：①以AC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE②以EC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE；③以AC、EC為鄰邊．

解答：解：（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2分）

（2）（方法一）
∵點A、B在二次函數y=ax²+bx+3的圖象上
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

得：

a=-1 b=2

∴二次函數解析式為y=-x²+2x+3（4分）
∵-

b

2a

=-

2

2×(-1)

=1

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×3-22

4×(-1)

=4
∴頂點D（1，4）（5分）
設直線CD的解析式為：y=k₁x+b₁

b1=3 k1+b1=4

得：

b1=3 k1=1

∴直線CD的解析式為：y=x+3（7分）
（方法二）
設二次函數解析式為y=a（x+1）（x-3）
∵點C（0，3）在二次函數圖象上∴-3a=3，a=-1
∴y=-x²+2x+3（4分）=-（x-1）²+4∴頂點D（1，4）（5分）
設直線CD的解析式為：y=k₁x+b₁

b1=3 k1+b1=4

得：

b1=3 k1=1

∴直線CD的解析式為：y=x+3（7分）

（3）當y=0時，x+3=0
解得：x=-3，∴E（-3，0）（8分）
存在點F，使以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形
有三種情況：
①以AC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE
∵AE=2，∴F（-2，3）（9分）
②以EC、AE為鄰邊：則CF

∥ .

.

AE
∵AE=2，∴F（2，3）（10分）
③以AC、EC為鄰邊：
過F作FG⊥x軸則△EGF≌△AOC，∴EG=OA=1，GF=OC=3
∵F在第三象限∴F（-4，-3）（11分）
綜上所述：點F的坐標為（2，3）或（-2，3）或（-4，-3）（12分）

點評：本題是一道綜合題，考查了二次函數解析式和一次函數解析式的求法，以及平行四邊形的判定，主要考查學生數形結合的數學思想方法．