Question

【題目】已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如圖1，點D在BC的延長線上，連AD，過B作BE⊥AD于E，交AC于點F．求證：AD＝BF；

（2）如圖2，點D在線段BC上，連AD，過A作AE⊥AD，且AE＝AD，連BE交AC于F，連DE，問BD與CF有何數量關系，并加以證明；

（3）如圖3，點D在CB延長線上，AE＝AD且AE⊥AD，連接BE、AC的延長線交BE于點M，若AC＝3MC，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論：BD＝2CF．理由見解析；（3）.

【解析】

（1）欲證明BF=AD，只要證明△BCF≌△ACD即可；

（2）結論：BD=2CF．如圖2中，作EH⊥AC于H．只要證明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解決問題；

（3）利用（2）中結論即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，

∵BE⊥AD于E，

∴∠AEF＝∠BCF＝90°，

∵∠AFE＝∠CFB，

∴∠DAC＝∠CBF，

∵BC＝CA，

∴△BCF≌△ACD，

∴BF＝AD．

（2）結論：BD＝2CF．

理由：如圖2中，作EH⊥AC于H．

∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，

∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，

∴∠DAC＝∠AEH，

∵AD＝AE，

∴△ACD≌△EHA，

∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，

∵CB＝CA，

∴BD＝CH，

∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，

∴△EHF≌△BCF，

∴FH＝CF，

∴BC＝CH＝2CF．

（3）如圖3中，同法可證BD＝2CM．

∵AC＝3CM，設CM＝a，則AC＝CB＝3a，BD＝2a，

∴．