Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點P關于⊙C的反稱點，如圖為點P及其關于⊙C的反稱點P′的示意圖．

特別地，當點P′與圓心C重合時，規定CP′=0．

（1）當⊙O的半徑為1時．

①分別判斷點M（2，1），N（，0），T（1， ）關于⊙O的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；

②點P在直線y=﹣x+2上，若點P關于⊙O的反稱點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的反稱點P′在⊙C的內部，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②0＜x＜2；（2）圓心C的橫坐標的取值范圍是2≤x≤8．

【解析】試題分析：（1） ①根據反稱點的定義畫圖得出結論；②∵CP≤2r＝2 CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤，2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，把x＝2和x=0代入驗證即可得出，P（2，0），P′（2，0）不符合題意P（0，2），P′（0，0）不符合題意，∴0＜x＜2

（2）求出A，B的坐標，得出OA與OB的比值，從而求出∠OAB=30°，設C（x，0）

①當C在OA上時，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4，得出 C點橫坐標x≥2． （當x＝2時，C點坐標（2，0），H點的反稱點H′（2，0）在圓的內部）；②當C在A點右側時，C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為2，∴C點橫坐標x≤8，得出結論.

試題解析： （1）解：①M（2，1）不存在， 存在，反稱點 存在，反稱點T′（0，0）

②∵CP≤2r＝2 CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤4

2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，當x＝2時，P（2，0），P′（2，0）不符合題意

當x＝0時，P（0，2），P′（0，0）不符合題意，∴0＜x＜2

（2）解：由題意得：A（6，0），，∴，∴∠OAB＝30°，設C（x，0）

①當C在OA上時，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4， C點橫坐標x≥2．

（當x＝2時，C點坐標（2，0），H點的反稱點H′（2，0）在圓的內部）

②當C在A點右側時，C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為2，∴C點橫坐標x≤8

綜上所述：圓心C的橫坐標的取值范圍2≤x≤8．