Question

【題目】如圖，矩形AEFG的頂點E，G分別在正方形ABCD的AB，AD邊上，連接B，交EF于點M，交FG于點N，設AE=a，AG=b，AB=c（b＜a＜c）．

（1）求證： ；

（2）求△AMN的面積（用a，b，c的代數式表示）；

（3）當∠MAN=45°時，求證：c2=2ab．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）c（a+b﹣c）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）首先過點N作NH⊥AB于點H，過點M作MI⊥AD于點I，可得△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形，則可求得BN=b，DM=a，繼而求得答案；

（2）由S△AMN=S△ABD-S△ABM-S△ADN，可得S△AMN=c2-c（c-a）-c（c-b），繼而求得答案；

（3）易證得∴∠DMA=∠BAN，又由∠ABD=∠ADB=45°，可證得△ADM∽△NBA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

試題解析：（1）證明：過點N作NH⊥AB于點H，過點M作MI⊥AD于點I，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°，

∴△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形，

∴BN=NH=AG=b，DM=MI=AE=a，

∴；

（2）S△AMN=S△ABD﹣S△ABM﹣S△ADN

=ABAD﹣ABME﹣ADNG

=c2﹣c（c﹣a）﹣c（c﹣b）

=c（c﹣c+a﹣c+b）

=c（a+b﹣c）；

（3）∵∠DMA=∠ABD+∠MAB=∠MAB+45°，∠BAN=∠MAB+∠MAN=∠MAB+45°，

∴∠DMA=∠BAN，

∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴△ADM∽△NBA，

∴，

∵DM=a，BN=b，

∴c2=2ab．