Question

【題目】如圖,正△ABC中,點P為BC邊上的任意一點(不與點B，C重合),且∠APD= 60° ,PD交邊AB于點D. 設BP= x ,BD= y ,右圖為y關于x的函數大致圖象，下列判斷中正確的是（ ）

①正△ABC中邊長為4；②圖象的函數表達式是 ， 其中 0＜x＜4；③ m=1

A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③

Answer 1

【答案】D

【解析】

設正△ABC邊長為a，根據等邊三角形性質可知∠B=∠C=60°，由三角形內角和定理和平角性質得∠CAP+∠APC=120°，∠BPD+∠APC=120°，等量代換可得∠CAP=∠BPD，根據相似三角形判定和性質得CA：BP=CP：BD，代入數值可得y關于x的函數解析式為：；由二次函數性質和圖像可得x==2，從而可得a值，即正△ABC邊長為4，故①正確；將a值代入可得y關于x的函數解析式為，故②錯誤；將二次函數解析式配方得，從而可得

m=1，故③正確.

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠APD=60°，

∴∠CAP+∠APC=120°，∠BPD+∠APC=120°，

∴∠CAP=∠BPD，

∴△CAP∽△BPD，

∴CA：BP=CP：BD，

設正△ABC邊長為a，

∴CA=CB=a，CP=CB-BP=a-x，

∵ BP= x ，BD= y ，

∴a：x=（a-x）：y，

即，

∴ y關于x的函數解析式為：，

∵拋物線對稱軸為：x==2，

∴a=4，

∴正△ABC邊長為4，

故①正確；

∴y關于x的函數解析式為：，

故②錯誤；

∵，

∴m=1，

故③正確；

綜上所述：正確的有①③.

故答案為：D.