Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，則下列結論：

①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=ABAC④OE=AD⑤S△APO=，正確的個數是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先根據角平分線和平行得：∠BAE=∠BEA，則AB=BE=1，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質和等腰三角形的性質得：∠ACE=30°，最后由平行線的性質可作判斷；

②先根據三角形中位線定理得：OE=AB=，OE∥AB，根據勾股定理計算OC=和OD的長，可得BD的長；

③因為∠BAC=90°，根據平行四邊形的面積公式可作判斷；

④根據三角形中位線定理可作判斷；

⑤根據同高三角形面積的比等于對應底邊的比可得：S△AOE=S△EOC=OEOC=，，代入可得結論．

①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE=1，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正確；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=AB=，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC=，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BCD=∠BAD=120°，

∴∠ACB=30°，

∴∠ACD=90°，

Rt△OCD中，OD=，

∴BD=2OD=，故②正確；

③由②知：∠BAC=90°，

∴SABCD=ABAC，

故③正確；

④由②知：OE是△ABC的中位線，

又AB=BC，BC=AD，

∴OE=AB=AD，故④正確；

⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC=，

∴S△AOE=S△EOC=OEOC=××，

∵OE∥AB，

∴，

∴，

∴S△AOP= S△AOE==，故⑤正確；

本題正確的有：①②③④⑤，5個，

故選D．