Question

（1）已知：如圖（1）AD是△ABC中BC邊的中線，則S_△ABD=S_△ACD，依據是

等底同高

．
（2）如圖2梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，請找出圖中三對面積相等的三角形，

△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC

．
（3）李明家有一塊四邊形田地，如圖3所示．AE是一條小路，它把田地分成了面積相等的兩部分（小路寬忽略不計）．在CD邊上點F處有一口水井，為方便灌溉田地，李明打算過點F修一條筆直的水渠，且要求水渠也把整個田地分成面積相等的兩部分（水渠寬忽略不計）．請你幫李明設計出修水渠的方案，作圖并寫出設計方案．

Answer 1

分析：（1）由AD是△ABC中BC邊的中線，可知BD=CD，再有△ADB和△ADC是同高，可得S_△ABD=S_△ACD；
（2）過A作AM⊥CB于M，過D作DN⊥BC于N，延長DA、AD，過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，根據平行線間的距離相等可得BF=AM=DN=CF，再利用三角形的面積公式表示出△ADC和△ADB的面積，觀察發現這兩個三角形是同底等高，面積相等；同理可得△ABC和△DBC的面積相等；再根據三角形的面積和差關系可得△AOB和△DOC；
（3）連接AF兩點，過E點作EG∥AF交AB于G點，連接FG，FG就是修水渠的路線．

解答：解：（1）AD是△ABC中BC邊的中線，則S_△ABD=S_△ACD，依據是等底同高；
（2）圖中三對面積相等的三角形：△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC；
理由如下：過A作AM⊥CB于M，過D作DN⊥BC于N，延長DA、AD，過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，
∴BF=AM=DN=CF（平行線間的距離相等），
∵S_△ADC=

1

2

•AD•CF，S_△ADB=

1

2

•AD•BF，
∴S_△ADC=S_△ABD；
∴S_△ADC-S_△ADO=S_△ABD-S_△ADO，
即：S_△ABO=S_△DOC；
∵S_△ABC=

1

2

•CB•AM，S_△DBC=

1

2

•CB•DN，
∴S_△ABC=S_△DBC；

（3）連接AF兩點，過E點作EG∥AF交AB于G點，連接GF，
則直線GF就是所求作的直線．

點評：此題主要考查了三角形的面積求法，以及應用與設計作圖，關鍵是正確找到三角形的高線，利用三角形的面積公式表示出每個三角形的面積．