Question

【題目】問題探究

（）如圖①，已知正方形的邊長為，點和分別是邊、上兩點，且．連接和，交于點．猜想與的位置關系，并證明你的結論．

（）如圖②，已知正方形的邊長為，點和分別從點、同時出發，以相同的速度沿、方向向終點和運動，連接和，交于點，求周長的最大值．

問題解決

（）如圖③，為邊長為的菱形的對角線， ．點和分別從點、同時出發；以相同的速度沿、向終點和運動，連接和，交于點，求周長的最大值．

Answer 1

【答案】（）（）（）

【解析】試題分析：（1）結論：AM⊥BN．只要證明△ABM≌△BCN即可解決問題；

（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．首先證明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可解決問題；

（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．首先證明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可解決問題；

試題解析：解：（1）結論：AM⊥BN．理由如下：

如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．

（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四邊形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四邊形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=，∴△APB周長的最大值=．

（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四點共圓，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等邊三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大時，△APB的周長最大，∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，∴△PAB的周長最大值=．