Question

如圖1，以點O為圓心，半徑為4的圓交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，點P為弧AC上的一動點，延長CP交x軸于點E；連接PB，交OC于點F．
（1）若點F為OC的中點，求PB的長；

（2）求CP•CE的值；
（3）如圖2，過點OH∥AP交PD于點H，當點P在弧AC上運動時，試問的值是否保持不變；若不變，試證明，求出它的值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

（本題滿分8分）
解：（1）連接AP，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=∠FOB=90°．
∵∠ABP=∠FBO，
∴△ABP∽△BOF．
∴．
∵，
∴．
∴．

（2）連接BC，
∵OC⊥AB，，
∴=，
∴∠CPB=∠EBC．
∵∠BCP=∠BCE，
∴△BCP∽△ECB．
∴．
∴BC²=CP•CE=32．

（3）的值保持不變．
連接PC，AC，
∵OH∥AP，
∴∠APD=∠OHP=∠AOD=45°．
∴∠CPA=∠OHD=135°．
又∵∠CAP=∠ODH，
∴△CAP∽△ODH．
∴．
當點P在弧AC上運動時，的值保持不變，的值為．
分析：（1）求PB的長，連接AP，可以通過證明△ABP∽△BOF，根據相似三角形的性質得出；
（2）求CP•CE的值，連接BC，CA，易證明AC=BC，得出∠CPB=∠EBC，再證明△BCP∽△ECB，得出比例的乘積形式即可；（3）的值可以通過比例的形式，證明△CAP∽△ODH得出．
點評：本題考查了相似三角形的性質，同時考查了平行線的性質，圓周角的性質，綜合性較強．