Question

直線l：y=-x+3分別交x軸、y軸于B、A兩點，等腰直角△CDM斜邊落在x軸上，且CD=6，如圖1所示．若直線l以每秒3個單位向上作勻速平移運動，同時點C從（6，0）開始以每秒2個單位的速度向右作勻速平移運動，如圖2所示，設移動后直線l運動后分別交x軸、y軸于Q、P兩點，以OP、OQ為邊作如圖矩形OPRQ．設運動時間為t秒．
（1）求運動后點M、點Q的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）若設矩形OPRQ與運動后的△CDM的重疊部分面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t相應的取值范圍；
（3）若直線l和△CDM運動后，直線l上存在點T使∠OTC=90°，則當在線段PQ上符合條件的點T有且只有兩個時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過M作MN⊥CD于N，根據等腰直角三角形的性質求出CN=DN=MN=3，求出B的坐標，即可得到M、Q的坐標；
（2）①0＜t＜1時，s=0②1＜t≤2.5，如圖2，S=CQ•QH，把CQ、QH代入即可求出答案；③當2.5＜t＜4時，如圖（3）同法可求DQ，根據s=S_△CMD-S_△DQE，求出△CMD和△DQE的面積代入即可；④當t≥4時，s=S_△CMD=×6×3=9；
（3）①直線L經過點C，即C、Q重合，根據4+4t=6+2t，求出即可；②如圖直線L切圓于F，證△QFE∽△QOW，得出
=，代入即可求出t的值，進一步得出t的取值范圍．
解答：（1）解：過M作MN⊥CD于N，
∵等腰直角△CDM，
∴CN=DN=MN=3，
由勾股定理得：MC=MD=3，
∵點C從（6，0）開始以每秒2個單位的速度向右作勻速平移運動，
∴ON=6+3+2t=9+2t，
∵y=-x+3，
∴當y=0時，x=4，
∴B（4，0），
∵直線l以每秒3個單位向上作勻速平移運動，
∴直線PQ的解析式是y=-x+3+3t，
y=0代入得：0=-x+3+3t，
x=4t+4
∴OQ=4+4t，
∴M（9+2t，3），Q（4+4t，0），
答：運動后點M、點Q的坐標分別是（9+2t，3），（4+4t，0）．

（2）解：①∵當兩圖形不重合時，OB=3，OC=6，直線l以每秒3個單位向上作勻速平移運動，同時點C從（6，0）開始以每秒2個單位的速度向右作勻速平移運動
∴0＜t＜1，s=0，如圖1，
②∵當t=2.5時，RQ過M點，
∴1＜t≤2.5，如圖2，由矩形OPRQ，∠OQH=90°，
∵∠MCD=45°=∠CHQ，
∴CQ=（4+4t）-（6+2t）=2t-2=QH，
∴S=CQ•QH=（2t-2）²=2t²-4t+2，
即：s=2t²-4t+2；
③∵當t=4時，RQ過D點，
∴當2.5＜t＜4時，如圖（3）：

同法可求DQ=OD-OQ=（6+6+2t）-（4+4t）=8-2t，
∴s=S_△CMD-S_△DQE=×6×3-（8-2t）²=-2t²+16t-23，
即：s=-2t²+16t-23；

④∵當t≥4時，△MDC在矩形PRQO的內部，
∴當t≥4時，s=S_△CMD=×6×3=9；
答：S與t的函數關系式是s=2t²-4t+2（1＜t≤2.5）或s=-2t²+16t-23（2.5＜t＜4）或s=9（t≥4）．

（3）解：①直線L經過點C，即C、Q重合

此時4+4t=6+2t，
解得：t=1；
②如圖直線L切圓于F，即點T，OE=EF=3+t，EQ=1+3t

∵∠FQC=∠FQC，∠EFQ=∠COW=90°，
∴△QFE∽△QOW，
∴=，
=，
求得：t=3，
∴1＜t＜3，
答：t的取值范圍是1＜t＜3．
點評：本題主要考查對矩形的性質，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，三角形的面積，勾股定理，一次函數的性質，解一元一次方程，等腰直角三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度，用的數學思想是分類討論思想．