Question

【題目】如圖，已知OM⊥ON，垂足為O，點A、B分別是射線OM、ON上的一點（O點除外）．

（1）如圖①，射線AC平分∠OAB，若BC所在的直線也平分以B為頂點的某一個角α（0°＜α＜180°），則∠ACB＝　 ；

（2）如圖②，P為平面上一點（O點除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分別畫∠OAP、∠OBP的平分線AD、BE，交BP、OA于點D、E，試判斷AD與BE的位置關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，隨著P點在平面內運動，AD、BE的位置關系是否發生變化？請利用圖③畫圖探究．如果不變，直接回答；如果變化，畫出圖形，寫出AD、BE位置關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°或135°；（2）AD∥BE，理由見解析；（3）變化；當P在AB的上方時，如圖②見解析，有AD∥BE； 當P在AB的下方時，如圖③見解析，有AD⊥BE．理由見解析．

【解析】

（1）分兩種情況討論：若BC平分∠ABO，由三角形內角和定理可得結論，若BC平分∠ABO的外角，根據三角形外角的性質和角平分線的定義，可得結論；

（2）證明∠OAD=∠OEB，可得：AD∥BE；

（3）先根據∠AOB=∠APB=90°，分點P在AB的上方和P在AB的下方分類，依據角平分線的定義及特殊構圖“8”字形對頂三角形有關角的關系的運用，即可得到結論．

（1）若BC平分∠ABO，如圖①a，

∵∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，

∵AC，BC分別平分∠OAB，∠ABO，

∴∠BAC=∠OAB，∠ABC=∠ABO,

∴∠BAC+∠ABC=（∠OAB+∠ABO）=45°

∴∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)= 180°-45°=135°

若BC平分∠ABO的外角，如圖①b，

同上易知，∠1=∠2，∠3=∠4

∵∠1+∠2=∠3+∠4+∠AOB=∠3+∠4+90°，

∴2∠2=2∠4+90°，

∴∠2=∠4+45°，

∴∠2-∠4=45°，

∴∠ACB=45°，

綜上，∠ACB=45°或135°.

故答案為：45°或135°.

（2）AD∥BE

∵∠AOB＝∠P＝90°

∴∠OAP+∠OBP＝180°

∴∠OAP+∠OBP＝90°

∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP

∴∠OAD＝∠OAP，∠OBE＝∠OBP

∴∠OAD+∠OBE=∠OAP+∠OBP＝90°

∵∠AOB＝90°

∴∠OEB+∠OBE＝90°

∴∠OAD＝∠OEB

∴AD∥BE

（3）變化

當P在AB的上方時，如圖②，有AD∥BE；

當P在AB的下方時，如圖③，有AD⊥BE

理由是：

延長AD與BE交于點G,設OA與PB交于H，

∵∠APB＝∠AOB＝90°，∠AHP＝∠BHO

∴∠OAP＝∠OBP

∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP

∴∠PAD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP

∴∠PAD＝∠DBE，

又∵∠ADP＝∠BDG，

∴∠AGB＝∠P＝90°，

∴AD⊥BE．