Question

如圖，CA、CB為⊙O的切線，切點分別為A、B．直徑延長AD與CB的延長線交于點E．AB、CO交于點M，連接OB．
（1）求證：∠ABO=∠ACB；
（2）若sin∠EAB=，CB=12，求⊙O 的半徑及的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）4，．

試題分析：（1）證明∠ABO =∠BCO即可證得∠ABO=∠ACB.
（2）由sin∠BCO =sin∠EAB=可求得＝，從而由CB＝12求得⊙O 的半徑OB為4；由△OBE∽△CAE列比例式得＝．
（1）∵CA、CB為⊙O的切線，
∴ CA=CB， ∠BCO=∠ACB，∴∠CBO=90°．∴ CO⊥AB．
∴∠ABO +∠CBM=∠BCO +∠CBM=90°．∴∠ABO =∠BCO．∴∠ABO=∠ACB．
（2） ∵ OA＝OB， ∴∠EAB=∠ABO．∴∠BCO＝∠EAB．
∵ sin∠BCO =sin∠EAB=，∴＝．
∵ CB＝12，∴ OB＝4，即⊙O 的半徑為4．
∵∠OBE＝∠CAE＝90°，∠E＝∠E，∴△OBE∽△CAE．∴＝．
∵CA＝CB＝12，∴＝．