Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．動點P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ=2DP．線段PQ與BD相交于點E，過點E作EF∥BC，交CD于點F，射線PF交BC的延長線于點G，設DP=x．
（1）求

DF

CF

的值．
（2）當點P運動時，試探究四邊形EFGQ的面積是否會發生變化？如果發生變化，請用x的代數式表示四邊形EFGQ的面積S；如果不發生變化，請求出這個四邊形的面積S．
（3）當△PQG是以線段PQ為腰的等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴

DE

BE

=

DP

BQ

．
∵EF∥BC，∴

DE

BE

=

DF

CF

．
又∵BQ=2DP，∴

DF

CF

=

1

2

．

（2）不發生變化．
作EM⊥BC，垂足為點M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

DE

DB

=

1

3

．
而BC=13，
∴EF=

13

3

．
又∵PD∥CG，
∴

PD

CG

=

DF

CF

=

1

2

．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足為點N．
∴

EM

DN

=

BE

BD

=

EM

AB

=

2

3

，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=

1

2

×(

13

3

+13)×8=

208

3

．

（3）作PH⊥BC，垂足為點H．
（i）當PQ=PG時，QH=GH=

13

2

．
∴2x+

13

2

=11-x．
解得x=

3

2

．
（ii）當PQ=GQ時，PQ=

(11-3x)2+122

=13．
解得x=2或x=

16

3

．
綜上所述，當△PQG是以PQ為腰的等腰三角形時，x的值為

3

2

、2或

16

3

．