Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點P，三角板繞P點旋轉．
（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．
①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結論）
②探究2：連結EF，△CPF∽△PEF嗎？請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠BPE+∠BEP=150°．
又∵∠EPF=30°，∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；

（2）證法同（1），△BPE與△CFP還相似；

（3）△BPE∽△CFP．
理由如下：
∵△BPE∽△CFP
∴

PE

FP

=

BP

CF

．
∵BP=CP，
∴

PE

FP

=

CP

CF

．
又∵∠EPF=∠C=30°，
∴△CPF∽△PEF．