Question

【題目】如圖，為的直徑，于點，是上一點，且，延長至點，連接，使，延長與交于點，連結，．

（1）連結，求證：；

（2）求證：是的切線；

（3）若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共邊，結論顯然成立．
（2）連接OC，只需證明OC⊥PC即可．根據三角形外角知識以及圓心角與圓周角關系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，結論得證．
（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=，設BG=2x，則CG=3x．注意到AB是直徑，連接AC，則∠ACB是直角，由相似三角形可知CG2=BGAG，可得出AG的表達式（用x表示），再根據AG-BG=求出x的值，從而CG、CB、BD、CD的長度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例關系算出ED的值．

（1）證明：因為，

所以，

在和中：

所以．

（2）證明：連接．

因為，

，

所以，

因為，

所以，

所以，

因為于，

所以，

所以，

即，

所以，

所以是圓的切線．

（3）因為直徑弦于，

所以，，

所以，

因為，，

所以，

設，則．

連接，則，

因為，，

所以

所以，

所以，

因為，

所以，

解得，

所以，，

所以，

所以，

因為，

所以，

所以，

因為，

所以．