Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，D、E為⊙O上兩點，過點D作⊙O的切線CD交AB的延長線于點C，OD與BE交于F點，四邊形BCDE是平行四邊形．

（1）求證：四邊形AODE是平行四邊形．；

（2）若⊙O的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）陰影部分的面積為

【解析】試題分析：（1）連接AE，先證△AEB、△ODC是直角三角形，再證∠DOC＝∠EAB，即可得到AE//OD，再加上ED//AC可得四邊形AODE是平行四邊形；（2）先證△FED≌△FBO，則求陰影部分面積即求扇形OBD的面積；

試題解析：

（1）連接AE，如圖所示：

∵∠AEB是直徑AB所對的圓周角，

∴∠AEB＝90o，

∵DC是圓的切線，

∴∠ODC＝90o，

∵四邊形BCDE是平行四邊形，

∴DE//BC，

∴∠C＝∠ABE

∴∠DOC＝∠EAB

∴AE//OD

∴四邊形AODE是平行四邊形;

(2)∵四邊形BCDE是平行四邊形，

∴DC//EB，∠C＝∠BED，

∴∠EDF＝∠BOF

又∵DC是圓的切線，

∴∠OFB＝ODC＝90o，

∴OD是BE的垂直平分線，

∴EF＝BF

在△EFD和△BFO中

∴△EFD≌△BFO（AAS）

∴S△EFD＝S△BFO，

∴S陰影部分＝S扇形OBD ，

∵∠C＝∠BED，∠DOB＝2∠BED，

∴2∠C＝∠DOC

又∵∠ODC＝90o，

∴∠DOC＝60 o

∵⊙O的半徑為6，

∴S扇形OBD＝ 。