Question

【題目】已知：是的內接三角形，點為的中點，弦分別交，于點，，且．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點作，交的延長線于點，與的另一個交點為點，連接交于點，若，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接，，，根據得出，再根據點為弧AB的中點，得到，再說明，通過等量代換可得結果；

（2）連接，令，則，可得，根據弧弧得出，再通過等量代換得到即可；

（3）連接分別交，于點，，根據得出，令，得出，證明和，得出和，根據列出方程，解出t值，在利用勾股定理求出AE即可.

解：（1）證明：如圖1，連接，，，

∵

∴

∵弧弧

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴弧弧

（2）如圖，連接

令，則

∵

∴

∵弧弧

∴

∴

∴

∴

∴；

（3）如圖3，連接分別交，于點，．

∵，

∴

在中，

在中，

∴

∴

令，則

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，，

∴

∴

∴

同理

∴

在中，，

在中，，

∵

∴

解得

在中，