Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點B坐標（﹣3，0），點C坐標（0，4），點P從原點O出發，以每秒一個單位長度的速度沿x軸正方向移動，移動時間為t（0≤t≤5）秒，過點P作平行于y軸的直線l，直線l掃過四邊形OCDA的面積為S．

（1）求直線AD的函數表達式；

（2）當S＝時，請直接寫出t的值；

（3）如果點M是（2）中的直線1上的點，點N在x軸上，并且以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣；（2）t的值為4秒；（3）點N坐標為（1，0）或（3，0）或（7，0）．

【解析】

（1）在Rt△BOC中，利用勾股定理計算BC的長，即菱形的邊長為5，可得D和A的坐標，根據待定系數法可解答；

（2）①如圖1中，當0≤t≤2時，直線l掃過的圖象是四邊形CCQP，S＝4t．②如圖2中，當2＜t≤5時，直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA．分別求解即可解決問題；

（3）根據題意分三種情形分別作圖，根據平行四邊形的性質即可求解．

解：（1）∵點B坐標（﹣3，0），點C坐標（0，4），

∴OB＝3，OC＝4，

在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD＝AB＝BC＝5，

∴A（2，0），D（5，4），

設AD的解析式為：y＝kx+b，

則，解得：，

∴直線AD的函數表達式為：y＝x﹣；

（2）①如圖1中，當0≤t≤2時，直線l掃過的圖象是四邊形OCQP，S＝4t．

4t＝，t＝＞2，不符合題意；

②如圖2中，當2＜t≤5時，直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA．

則OP＝t，

tan∠OBC＝tan∠PAT＝，

∴，PT＝，

S＝S矩形COPQ﹣S△ATP＝4t﹣×（t﹣2）×（t﹣2）＝﹣t2+t﹣，

當S＝時，﹣t2+t﹣＝，

解得：t＝4或6（舍），

綜上，當S＝時，t的值為4秒；

（3）存在三種情況：

①如圖3中，四邊形MNAD是平行四邊形，此時M與Q重合，則DM＝AN，

由（2）知：t＝4，則CM＝OP＝4，

∴AN＝DM＝5﹣4＝1，

∴ON＝2﹣1＝1，

∴N（1，0）；

②如圖4，四邊形ANDM是平行四邊形，則DM＝AN，同理得N（3，0）；

③如圖5，四邊形ADNM是平行四邊形，則AD＝MN＝5，

∵PM＝4，

Rt△PMN中，PN＝==3，

∴ON＝4+3＝7，

∴N（7，0）；

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（1，0）或（3，0）或（7，0）．