Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD邊的中點，P是射線AB上的一個動點（不與A，B重合），MN⊥PM交射線BC于N點．

（1）如圖1，當點N與點C重合時，求AP的長；

（2）如圖2，在點N的運動過程中，求證： 為定值；

（3）在射線AB上，是否存在點P，使得△DCN∽△PMN？若存在，求此時AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，

∵MN⊥PM，

∴∠APM=90°﹣∠AMP=∠DMC，

∴△APM∽△DMC，

∴ = ，

∵點M是AD的中點，

∴MD=AM= AD=3，

∵CD=AB=4，

∴ = ，

∴AP=

（2）

解：證明：①當點P在線段AB上時，如圖2，

延長MN交DC的延長線于G，

同（1）的方法得出，△APM∽△DMG，

∴ = ，

∴ = = ，

∴ + = + ，

∵AD∥CN，

∴∠CNG=∠DMG=∠APM，

∵∠PAM=∠NCG=90°，

∴△APM∽△CNG，

∴ ，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ；

②當點P在AB的延長線上時，如圖，

同①的方法得出，△APM∽△DMH，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

同①的方法得出，△APM∽△CNH，

∴ ，

∴ ，

∴ = ；

即： 是定值

（3）

解：存在點P，使得△DCN∽△PMN，

解：由（2）知 = ，△DCN∽△PMN時，

∴ = ，

∴ = ，

∴CN=4，

易得，△MDH∽△NCH，

∴ = . = ，

∵CD=AB=4，

∴DH= ，CH= ，

由（2）②知，△APM∽△MDH，

∴ = ，

∴ = ，

P=

【解析】（1）先判斷出∠APM=∠DMC即可得出△APM∽△DMC，即 = ，再求出AM=MD=3，CD=4代入即可；（2）分兩種情況①判斷出，△APM∽△DMG，和△APM∽△CNG用得出的比例式化簡即可得出結論；②同①的方法即可得出結論；（3）先求出CN，再用△MDH∽△NCH求出DH，CH，最后用△APM∽△MDH即可求出結論．