Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，AC＝6，BD＝8，∠AOD＝65°，點E在BO上，AF∥CE交BD于點F．

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．

（2）當點E在邊BO上移動時，平行四邊形AFCE能否為矩形？若能，此時BE的長為多少（直接寫出結果）？若不能，請說明理由．

（3）當點E在邊BO上移動時，平行四邊形AFCE能否為菱形？若能，此時BE的長為多少（直接寫出結果）？若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形AFCE能為矩形，此時BE＝1；（3）平行四邊形AFCE不能為菱形，理由見解析．

【解析】

（1）四邊形ABCD為平行四邊形，又AF∥CE，易證得△AOF≌△COE，則可得OE=OF，又由OA=OC，即可判定四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）當EF=AC時，平行四邊形AFCE為矩形，先得出BE=DF，再由AC=EF=6，BD=8，即可求得此時BE的長；
（3）由∠AOD=65°，可得AC與BD不垂直，即可得平行四邊形AFCE不能為菱形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵AF∥CE，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF，又OA=OC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）解：平行四邊形AFCE能為矩形．

理由：∵四邊形AFCE是平行四邊形，

∴當EF＝AC＝6時，平行四邊形AFCE為矩形，

∴OE＝OF，又OB＝OD，

∴BE＝DF，

∴2BE+EF＝BD，

即2BE+6＝8，

解得：BE＝1，

∴當BE＝1時，平行四邊形AFCE為矩形；

（3）解：平行四邊形AFCE不能為菱形．

理由：∵四邊形AFCE是平行四邊形，且∠AOD＝65°，

即AC與BD不垂直，

∴平行四邊形AFCE不能為菱形．