Question

在下列兩圖中，四邊形ABCD為正方形，AB=3，E為邊CD上一點，DE=

（1）在圖1中，F為正方形ABCD邊BC上一點，且∠EAF=30°，求EF．
（2）利用尺規作圖，在圖2中，在邊BC找一點P，使得PA=PE，并求BP．（保留作圖痕跡，不寫步驟）

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∵AB=3，DE=，
∴tan∠DAE=，
∴∠DAE=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAF=30°，
∴CE=CF=3-，
∴EF=CE=3-；

（2）作出AE的垂直平分線和BC的交點即為點P，（如圖所示），
連接AP，BP，則AP=PE，
設BP=x，則AP²=x²+3²，PE²=（3-x）²+（3-）²，
∴x²+3²=（3-x）²+（3-）²，
解得：x=-1，
∴BP=-1．
分析：（1）根據在直角三角形ADE中的邊角關系可求出∠ADE=30°，由由已知條件可求出∠BAF=30°，進而求出AF，AE的長，再利用勾股定理即可求出EF的長；
（2）由垂直平分線的性質可知，只要做出AE的垂直平分線和BC的交點即為點P，再有已知條件求出BP即可，連接AP，BP由垂直平分線的性質和勾股定理計算即可．
點評：本題考查了正方形的性質、解直角三角形的有關知識已經垂直平分線的基本作圖和性質、勾股定理的運用，題目的綜合性很強．