Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（4，0）、（4，3），動點M、N分別從點O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，當兩動點運動了t秒時．解答下列問題：
（1）點P的坐標為（

4-t

，

3

4

t

 ）．（用含t的式子表示）；
（2）若△MPA的面積為S，當S=

3

2

時，求t的值；
（3）若點Q在y軸上，當S=

3

2

且△QAN為等腰三角形時，求直線AQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）由BN=t，根據BC-BN表示出CN，即為N的橫坐標，由三角形CNP與三角形CBA相似，根據相似得比例列出關系式，表示出NP，由AB-NP求出P的縱坐標，即可確定出P的坐標；
（2）三角形APM以AM為底，根據OA-OM表示出AM，高為P的縱坐標，利用三角形的面積公式列出關于t的方程，求出方程的解即可得到此時t的值；
（3）根據（2）得出此時N為BC的中點，設Q（0，y），根據勾股定理分別表示出AQ²，QN²，AN²，由三角形QAN為等腰三角形，分三種情況考慮：①若AQ=AN；②若AQ=QN；③若QN=AN，分別求出對應y的值，確定出Q的坐標，根據Q的坐標設出直線AQ方程，將A坐標代入即可確定出直線AQ的解析式．

解答：解：（1）延長NP，交OA于點E，可得出PE⊥OA，
∵BN=t，BC=4，
∴CN=BC-BN=4-t，
∵∠CNP=∠CBA=90°，∠NCP=∠BCA，
∴△CNP∽△CBA，
∴

CN

CB

=

NP

AB

，即

4-t

4

=

NP

3

，
∴NP=

3

4

（4-t）=3-

3

4

t，
∴PE=NE-NP=3-（3-

3

4

t）=

3

4

t，
則P的坐標為（4-t，

3

4

t）；

（2）在△MPA中，MA=4-t，MA上的高PE=

3

4

t，
∴S=S_△MPA=

1

2

（4-t）•

3

4

t，又S=

3

2

，
∴

1

2

（4-t）•

3

4

t=

3

2

，
解得：t₁=t₂=2，
則當t=2時，S=

3

2

；

（3）由（2）可知：S=

3

2

時，t=2，此時點N在BC的中點處，
設Q（0，y），則AQ²=OA²+OQ²=4²+y²，QN²=CN²+CQ²=2²+（3-y）²，AN²=AB²+BN²=3²+2²，
由△QAN為等腰三角形，分三種情況考慮：
①若AQ=AN，即4²+y²=3²+2²，此時方程無解；
②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，解得：y=-

1

2

；
③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，解得：y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，-

1

2

），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
當Q為（0，-

1

2

）時，設直線AQ的解析式為y=kx-

1

2

，
將A（4，0）代入得k=

1

8

，此時直線AQ的解析式為y=

1

8

x-

1

2

；
當Q為（0，0）時，A、Q兩點均在x軸上，此時直線AQ的解析式為y=0；
當Q為（0，6）時，Q、N、A在同一直線上，△QAN不存在，故舍去，
綜上，直線AQ的解析式為y=

1

8

x-

1

2

或y=0．
故答案為：4-t；

3

4

t．

點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，勾股定理，待定系數法確定一次函數解析式，利用了分類討論的思想，分類討論時不重不漏，考慮問題要全面．