Question

（2013•杭州一模）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=

c

x

的圖象相交于B（-1，5），C（

5

2

，d）兩點(diǎn)．
（1）求k，b的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象上的動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不與A，B重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線與函數(shù)y=

c

x

的圖象相交于點(diǎn)D，求出△PAD面積的最大值．
②若在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

c

x

可確定反比例函數(shù)解析式為y=-

5

x

，再把點(diǎn)C（

5

2

，d）代入y=-

5

x

可計(jì)算出d，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，即求出k、b的值；（2）先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，0），再用n表示P點(diǎn)坐標(biāo)得到P（

3-n

2

，n），由DP∥x軸得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

5

n

，n），根據(jù)三角形面積公式得S_{△PAD的面積}=

1

2

×（

3-n

2

+

5

n

）×n，配成頂點(diǎn)式得y=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

，由于點(diǎn)P在線段AB（不與A，B重合）上運(yùn)動(dòng)，所以0＜n＜5，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題得到△PAD的面積的最大值為

49

16

；
（3）結(jié)合直線y=-2x+3進(jìn)行討論：n=-2m+3，當(dāng)m≤0，n≥3，實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有多個(gè)整數(shù)；當(dāng)m＞

3

2

時(shí)，n≤0，則實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有多個(gè)整數(shù)；當(dāng)m=n即m=1時(shí)，實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）沒(méi)有整數(shù)；當(dāng)1＜m≤

3

2

時(shí)，0＜n＜1，m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)1；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，1＜n＜3，m與n之間（不包括m和n）有2個(gè)整數(shù)，由于m=

1

2

，n=2，則當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，2＜n＜3，m與n之間（不包括m和n）還是有2個(gè)整數(shù)，但當(dāng)

1

2

≤m＜1時(shí)，1＜n≤2，m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)1，綜合得到

1

2

≤m＜1或1＜m≤

3

2

．

解答：解：（1）將點(diǎn)B（-1，5）代入y=

c

x

，得c=-1×5=-5，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

5

x

，
將點(diǎn)C（

5

2

，d）代入y=-

5

x

得d=-

5

- 5 2

=-2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，-2）；
把B（-1，5）、C（

5

2

，-2）代入y=kx+b得

5=-k+b -2= 5 2 k+b

，解得

k=-2 b=3

；
（2）①令y=0，即-2x+3=0，解得x=

3

2

，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，0），
一次函數(shù)的解析式為y=-2x+3，點(diǎn)P（m，n）在直線y=-2x+3上，則m=

3-n

2

，P點(diǎn)坐標(biāo)表示為（

3-n

2

，n），
∵DP∥x軸，且點(diǎn)D在y=-

5

x

的圖象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-

5

n

，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

5

n

，n），
∴S_{△PAD的面積}=

1

2

×（

3-n

2

+

5

n

）×n=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

，
∴a=-

1

4

，
∴S有最值，
又∵點(diǎn)P在線段AB（不與A，B重合）上運(yùn)動(dòng)，
∴-1＜m＜

3

2

，0＜n＜5，
而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

49

16

），
∴當(dāng)n=

3

2

時(shí)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

4

，

3

2

）時(shí)，△PAD的面積S最大，最大值為

49

16

；
②實(shí)數(shù)m的取值范圍為

1

2

≤m＜1或1＜m≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩函數(shù)的解析式；常用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決代數(shù)式的最值問(wèn)題．