Question

【題目】（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．
求證：△BEC≌△CDA；
（模型應(yīng)用）
（2）①已知直線l1：y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o至直線l2，如圖2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
②如圖3，長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，-6），點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限．若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】⑴證明見解析；⑵y=-7x-21；⑶D（4，-2），（，）.

【解析】

（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；

（2）①過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據(jù)△CBD≌△BAO，得出BD=AO=3，CD=OB=4，求得C（-4，7），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；

②根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，-2x+6），分別根據(jù)△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可．

（1）證明：如圖1，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ACD與△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD=AO，CD=OB，

∵直線l1：y=x+4中，若y=0，則x=-3；若x=0，則y=4，

∴A（-3，0），B（0，4），

∴BD=AO=3，CD=OB=4，

∴OD=4+3=7，

∴C（-4，7），

設(shè)l2的解析式為y=kx+b，則

，

解得，

∴l2的解析式：y=-7x-21；

②D（4，-2），（，）．

理由：當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設(shè)D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF=AE，

即：12-2x=8-x，

解得x=4，

∴-2x+6=-2，

∴D（4，-2），

此時(shí)，PF=ED=4，CP=6=CB，符合題意；

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設(shè)D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x，

同理可得：△ADE≌△DPF，則AE=DF，

即：2x-12=8-x，

解得x=，

∴-2x+6=-，

∴D（，-），

此時(shí)，ED=PF=，AE=BF=，BP=PF-BF=＜6，符合題意．