Question

【題目】如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE-12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC= ，BC=12cm半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上。設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm．

（1）點C到直線AB的距離為 ________cm；

（2）當t= ________（s）時，⊙O與AC所在直線第一次相切；當t=________（s）時，⊙O與AC所在直線第二次相切；

（3）當t為何值時，直線AB與半圓O所在的圓相切；

（4）當△ABC的一邊所在直線與圓O相切時，若⊙O與△ABC有重疊部分，直接寫出重疊部分的面積。

Answer 1

【答案】（1）6；（2）1，7；（3）t為4秒或16秒；（4）6π+9cm2

【解析】

（1）由tan∠ABC=， 可知∠ABC=30°，再根據在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可知CF=AC=6；

（2）由題意可知，DE為⊙O的直徑，即OE=6，OC=8，所以EC=2，⊙O與AC所在的直線第一次相切，即點C與點E重合，也就是t=1時；DC=DE+EC=14，⊙O與AC所在的直線第二次相切，即點D與點E重合時，也就是t=7；

（3）此題有兩種情況：第一種情況，直線AB與半圓O相切，即過點O的半徑與AB所在的直線垂直，也就是CF⊥AB，即點O與點C重合時，也就是t=4；第二種情況，直線Ab與半圓O相切，即點O運動到點B的右側時，即過點O的半徑與AB的延長線垂直，此時OC=24，也就是t=(24+8)÷2=16；

（4）此題有三種情況：第一種情況是⊙O與AC第一次相切時，此時⊙O與△ABC沒有重疊部分；第二種情況是O與AB相切時，此時重疊的部分為O的四分之一，即為9πcm2；第三種情況是O與AC第二次相切時，此時⊙O的直徑DE與△ABC的邊BC重合，重疊部分的面積等于△BOG與扇形GOC的和，即6π+9cm2

（1）由tan∠ABC=， 可知∠ABC=30°，再根據在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可知CF=AC=6；

（2）由題意可知，DE為⊙O的直徑，即OE=6，OC=8，所以EC=2，⊙O與AC所在的直線第一次相切，即點C與點E重合，也就是t=1時；DC=DE+EC=14，⊙O與AC所在的直線第二次相切，即點D與點E重合時，也就是t=7；

（3）解：如圖2，過C作CF⊥AB于F ， 同理得：OF=6，

當直線AB與半圓O所在的圓相切時，又∵圓心O到AB的距離為6，半圓的半徑為6，

且圓心O又在直線BC上，∴O與C重合，即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切，

此時，點O運動了8cm ， 所求運動時間t=8÷2=4；

如圖3，當點O運動到B點的右側時，且OB=12，過O作OQ⊥AB ， 交直線AB于Q ，

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ= OB=6，即OQ與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了12+12+8=32cm ， 所求運動時間t=32÷2=16，

綜上所述，當t為4秒或16秒時，直線AB與半圓O所在的圓相切

（4）解：重疊部分的面積為/span>9πcm2或（6π+9 ）cm2 ． 有兩種情況：

①當半圓O與AB邊相切于F時，如圖1，重疊部分的面積S= π×62=9π；

②當半圓O與AC相切于C時，如圖4，連接OG ，

∵BC=DE=12，∴C與D重合，E與B重合，∵OG=OB ， ∴∠ABC=∠OGB=30°，

∴∠COG=60°．過O作OH⊥AB于H ， ∵OB=6，∴OH= OB=3，

由勾股定理得：BH=3 ，∴BG=2BH=6 ，此時重疊部分的面積S= + ×6 ×3=6π+9 ；

綜上所述，重疊部分的面積為9πcm2或（6π+9 ）cm2

圓的綜合題

解：（1）如圖1，過C作CF⊥AB于F ，

Rt△BCF中，∵tan∠ABC= ∴∠ABC=30°，BC=12，

∴CF= BC=6，故答案為：6

；

（2）∵DE=12，∴OE=OD=6，∵OC=8，∴EC=8-6=2，∴t=2÷2=1，

∴當t=1s時，⊙O與AC所在直線第一次相切；∴DC=8+6=14，∴t=14÷2=7，

∴當t=7s時，⊙O與AC所在直線第二次相切；故答案為：1，7