Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F .

（1）如圖1，觀察旋轉(zhuǎn)過(guò)程，猜想線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不需證明）；
（3）如圖3，若將“AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值.

Answer 1

（1）證明略
（2）
（3）解析:
解：（1）結(jié)論：AF="BE. " ………………………………….1分
證明：連接AD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
∴AD=BD=DC=BC ，∠ADB=∠ADC="90°,"
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°.
∴∠3+∠5==90°.
∵∠3+∠4==90°,
∴∠5=∠4
∵ BD=AD,
∴ △BDE≌△ADF.
∴BE="AF. " ………………………………………………………………………3分
（2）…………………………………………………………4分
（3）（1）中的結(jié)論BE=AF不成立.   ……………………………………… 5分

∵∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=90°,
∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°.
∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2="=90°    "
∴∠B=∠2 ， ∠5=∠4.
∴ △BDE∽△ADF.
∴.………………………………………………… 6分