Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接AC、BC，A、C兩點的坐標分別為A（-3，0）、C（0，

3

），且當x=-4和x=2時二次函數的函數值y相等．
（1）求實數a，b，c的值；
（2）若點M、N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，N，Q為項點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意和圖形可求出函數的表達式；
（2）結合拋物線內部幾何關系和性質求出t值及P點坐標；
（3）假設成立（1）若有△ACB∽△QNB則有∠ABC=∠QBN，尋找相似條件，判斷是否滿足．

解答：解：（1）∵C（0，

3

）在拋物線上
∴代入得c=

3

，
∵x=-4和x=2時二次函數的函數值y相等，
∴頂點橫坐標x=

-4+2

2

=-1，
∴-

b

2a

=-1，
又∵A（-3，0）在拋物線上，
∴9a-3b+

3

=0
由以上二式得a=-

3

3

，b=-

2 3

3

，c=

3

；

（2）由（1）y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

=-

3

3

(x-1)(x+3)
∴B（1，0），
連接BP交MN于點O₁，根據折疊的性質可得：0₁也為PB中點．
設t秒后有M（1-t，0），N（1-

t

2

，

3

2

t），O₁(1-

3

4

t，

3

4

t)）
設P（x，y），B（1，0）
∵O₁為P、B的中點可得1-

3t

4

=

1+x

2

，

3

4

t=

y

2

，即P（1-

3t

2

，

3

2

t）
∵A，C點坐標知lAC：y=

3

3

x+

3

，P點也在直線AC上代入得t=

4

3

，
即P（-1，

2 3

3

）；

（3）假設成立；
①若有△ACB∽△QNB，則有∠ABC=∠QBN，
∴Q點在x軸上，AC∥QN但由題中A，C，Q，N坐標知直線的一次項系數為：KAC=

3

3

≠KQN
則△ACB不與△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，則有

CB

BN

=

AB

QN

…（1）
設Q（-1，y），C（0，

3

），A（-3，0），B（1，0），N（

1

3

，

2 3

3

）
則CB=2，AB=4，AC=2

3

代入（1）得

2

4 3

=

4

( 4 3 )2+(y- 2 3 3 )2

y=2

3

或-

2 3

3

．
當y=2

3

時有Q（-1，2

3

）則QB=4?

AC

QB

=

3

2

≠

CB

BN

不滿足相似舍去；
當y=-

2 3

3

時有Q（-1，-

2 3

3

）則QB=

4 3

3

?

AC

QB

=

3

2

=

CB

BN

．
∴存在點Q（-1，-

2 3

3

）使△ACB∽△QBN．
綜上可得：（-1，-

2 3

3

）．

點評：此題是二次函數綜合題，主要考函數的性質和坐標，幾何變換與三角形相似的性質，探究一些存在性問題，難度較大，靈活運用函數性質來解題，考查知識點全面．