Question

已知點O在直線l上，

AD

是以O為圓心的某圓上的一段弧，∠AOD=90°，分別過A、D兩點作l的垂線，垂足為B、C．
（1）當點A、D在直線l的同側時，試探索線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明；當點A、D在直線l的兩側時，且AB≠CD時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論（不必證明）．
（2）如圖，

當點A、D在直線l的同側，如果AB=3，CD=4，點M是

AD

的中點，MN⊥BC，垂足為點N，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據圓的性質可知OA=OD，根據已知可得∠ABC=∠OCD=∠AOD=90°，由余角的性質可得∠AOB=∠ODC
即可證得Rt△ABO≌Rt△OCD，可得AB+CD=BC；在兩側的證明方法一樣，可求得BC=|AB-CD|．
（2）此題需要借助于輔助線，需要構造矩形與相似三角形，根據它們的性質求解即可，輔助線為過點A作AH⊥CD，垂足為點H，連接MO，可得矩形，又點M是弧

AD

的中點，AD⊥OM，MN⊥BC，所以AH∥BC，即得MN⊥AH，∠DAH=∠OMN，即可證Rt△DAH∽Rt△OMN；根據相似三角形的性質即可求得．

解答：（1）解：AB+CD=BC．（1分）
①證：在Rt△ABO和Rt△OCD中，
∵∠BAO+∠AOC=90°，∠DOC+∠AOC=90°
∴∠BAO=∠DOC
∵OA=OD
∴Rt△ABO≌Rt△OCD（2分）
∴AB=OC，BO=CD
∴AB+CD=OC+BO=BC（2分）
即：AB+CD=BC
②BC=|AB-CD|．（2分）

（2）過點A作AH⊥CD，垂足為點H，連接MO（1分）
得：四邊形ABCH為矩形，
∴AH=BC=AB+CD=7，DH=1
∴AD=

AH2+DH2

=

72+12

=5

2

∵AB=OC，
∴OD=

OC2+CD2

=

32+42

=5
∴OM=OD=5
∵點M是弧

AD

的中點，
∴AD⊥OM
∵MN⊥BC，AH∥BC，
∴MN⊥AH
∴∠DAH=∠OMN
∴Rt△DAH∽Rt△OMN（2分）
∴

AH

MN

=

AD

MO

∴

7

MN

=

5 2

5

∴MN=

7 2

2

（2分）

點評：此題考查了圓與相似三角形的性質與判定，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用，還要注意輔助線的作法，選擇好輔助線會達到事半功倍的效果．