Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（ ， ）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6

（2）

解：設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），

=﹣2n2+9n﹣4，

=﹣2（n﹣ ）2+ ，

∵PC＞0，

∴當n= 時，線段PC最大且為

（3）

解：∵△PAC為直角三角形，

i）若點P為直角頂點，則∠APC=90°．

由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在；

ii）若點A為直角頂點，則∠PAC=90°．

如答圖3﹣1，過點A（ ， ）作AN⊥x軸于點N，則ON= ，AN= ．

過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，

∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= + =3，

∴M（3，0）．

設直線AM的解析式為：y=kx+b，

則： ，解得 ，

∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3 ①

又拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6 ②

聯立①②式，解得：x=3或x= （與點A重合，舍去）

∴C（3，0），即點C、M點重合．

當x=3時，y=x+2=5，

∴P1（3，5）；

iii）若點C為直角頂點，則∠ACP=90°．

∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2．

如答圖3﹣2，作點A（ ， ）關于對稱軸x=2的對稱點C，

則點C在拋物線上，且C（ ， ）．

當x= 時，y=x+2= ．

∴P2（ ， ）．

∵點P1（3，5）、P2（ ， ）均在線段AB上，

∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（ ， ）

【解析】（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數值的差．可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出PC的最大值．（3）當△PAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．