Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為4，為邊上一點，過點作，交于點，在右側作等邊三角形，記到的距離為，到的距離為，

(1)若，試求線段的長，并求m1、m2的值.

(2)若，用含的代數式表示,，并求在∠C的平分線上時x的值.

Answer 1

【答案】(1)DE=，m1=，m2=0；(2)，，當在的平分線上時x=1.

【解析】

(1)過點作，則 ，延長DP交AC于點G，由題意可得：△BED、△DFP、DGC、均為30°的直角三角形，由可得 ，由等邊三角形可得，故 由于 ，可得 故；

（2）由(1)得當點P在三角形ABC內部時，；

①當 時，點P在三角形ABC內部， 此時，同（1）中的思路；②當 時，點P在三角形ABC一邊上，同(1)可知，，

③當時，點P在三角形ABC外部時，過點做，則 ， DP與AC交于點G. 由題意可得：△BED、△DFP、DGC、均為30°的直角三角形可得，由等邊三角形可得，故，

由DC=BC-BD=4-x可得 ，故；當在的平分線上時，此時在三角形內部 ，有 列出方程 求解即可；

解：(1)如下圖，過點作，則 ，延長DP交AC于點G.

∵DE⊥BC，∠EDP=60°，

∴∠PDC=30°，

∵∠C=60°，

∴∠DGC=180°-∠PDC-∠C=90°，

∴，

∵ ，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴；

(2)由(1)得當點P在三角形ABC內部時，，

①當 時，點P在三角形ABC內部，同(1)如下圖，

同(1)可證∠DGC=90°，

∴，

∵，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵DC=BC-BD=4-x，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴，

②當 時，點P在三角形ABC一邊上，

同(1)可知，，

③當時，點P在三角形ABC外部，

如下圖，過點做，則 ， DP與AC交于點G.

同(1)可證∠DGC=90°，

∴，

∵BD=x，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵DC=BC-BD=4-x，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴，

綜上所述，，

當在的平分線上時，易知在三角形內部 ，有，

即 ，

解得 x=1；