Question

【題目】如圖，已知，直線分別與、交于點、點.

（1）如圖1，當點在線段上，若，，則__________°；

（2）如圖2，當點在線段的延長線上，與交于點，則、、之間滿足怎樣的關系，請證明你的結論；

（3）如圖3，在（2）的條件下，平分，交于點，射線將分成，且與交于點，若，，求的度數.

Answer 1

【答案】（1）70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．理由見解析；（3）∠EKD=142°．

【解析】

（1）延長DE交AB于H，依據平行線的性質，可得∠D=∠AHE=40°，再根據∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；
（2）依據AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根據∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）設∠EAI=α，則∠BAE=3α，進而得出∠EDK=α-2°，依據∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α-4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度數．

解：（1）如圖1，延長DE交AB于H，

∵AB∥CD，
∴∠D=∠AHE=30°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED=∠A+∠AHE=40°+30°=70°，
故答案為：70；

（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．
理由：如圖2，

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）如圖3，

∵∠EAI：∠BAI=1：2，
∴設∠EAI=α，則∠BAE=3α，
∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，
∴∠EDK=α-2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE=2∠EDK=2α-4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，
即3α=22°+2α-4°，
解得α=18°，
∴∠EDK=16°，
∴在△DKE中，∠EKD=180°-16°-22°=142°．