Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數圖象上任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標軸分別交于點A、B.

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求△AOB的面積；
（3）如圖2，Q是反比例函數圖象上異于點P的另一點，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標軸分別交于點C、D，求證：DO·OC=BO·OA．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）24；（3）證明見解析.

試題分析：（1）∠AOB=90°，由圓周角定理的推論，可以證明AB是⊙P的直徑；（2）將△AOB的面積用含點P坐標的表達式表示出來，容易計算出結果；（3）對于反比例函數上另外一點Q，⊙Q與坐標軸所形成的△COD的面積，依然不變，與△AOB的面積相等.
試題解析：（1）∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑.
（2）設點P坐標為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點P是反比例函數（x＞0）圖象上一點，∴mn=12.
如圖，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n.
∴.

（3）若點Q為反比例函數（x＞0）圖象上異于點P的另一點，
參照（2），同理可得：.
∴，即.
∴DO•OC=BO•OA.