Question

如圖，將△ABC的頂點A放在⊙O上，現從AC與⊙O相切于點A（如圖1）的位置開始，將△ABC繞著點A順時針旋轉，設旋轉角為α（0°＜α＜120°），旋轉后AC，AB分別與⊙O交于點E，F，連接EF（如圖2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直徑為8．

（1）在旋轉過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；② 弧EF的長；③∠AFE的度數；④點O到EF的距離．其中不變的量是               （填序號）；
（2）當BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．

Answer 1

(1) ①②④;(2) α=90°,S_△AEF=8．  

試題分析：(1)在圓中,一條弧所對的弦,圓心角,圓周角,都有相應的聯系,若其中的一個發生變化,另外的量也發生相應的變化,由題,在整個旋轉過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，所以其所對的弦、弧不變,即①②正確；根據勾股定理得：O到EF的距離是，因為OB不變，EF不變，所以O到EF的距離不變,所以④正確；而在整個旋轉過程中，∠AEF和∠AFE都在改變，大小不能確定，所以③錯誤；故答案為：①②④;(2) α=90°,由題，△ACB旋轉90°后AC為⊙O直徑，且點C與點E重合，因此∠AFE="90°," AC=8，∠BAC=60°，∠ACF=30°,所以AF=AC=4，由勾股定理知EF=，所以S_△AEF=×4×=8． 
試題解析：（1）∵在整個旋轉過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，
∴其所對的弦、弧不變,
∴①②正確；
∵根據勾股定理得：O到EF的距離是，
∵OB不變，EF不變，
∴④正確；
∵在整個旋轉過程中，∠AEF和∠AFE都在改變，大小不能確定，
∴③錯誤；
故答案為：①②④.
（2）

α=90°,
依題意可知，△ACB旋轉90°后AC為⊙O直徑，
且點C與點E重合，
因此∠AFE=90°,
∵AC=8，∠BAC=60°，
∴∠ACF=30°,
∴AF=AC=4，EF=，
∴S_△AEF=×4×=8．