Question

（2013•達州）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3．取BO的中點D，連接CD、MD和OC．
（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數的圖象經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使S_△QAM=

1

6

S_△PDM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA為直徑，就有∠ACO=90°，D為OB的中點，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結論；
（2）根據條件可以得出△ACO∽△AOB而求出

AC

AO

=

AO

AB

，從而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值，根據D是OB的中點就可以求出D的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式，求出對稱軸，根據軸對稱的性質連接AD交對稱軸于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐標；
（3）根據S_△PDM=S_△ADM-S_△APM而求出其值就可以表示出S_△QAM的大小，設Q的坐標為m，根據三角形的面積公式就可以求出橫坐標而得出結論．

解答：（1）證明：連接CM，
∵AO是直徑，M是圓心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D為OB的中點，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切線；

（2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AC

AO

=

AO

AB

，
∴

3

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=

20

3

，
∵D為OB的中點，
∴OD=

1

2

OB=

10

3

，
∴D（0，

10

3

）．
∵OM=AM=

1

2

OA=

5

2

，
∴M（

5

2

，0）．設拋物線的解析式為y=a（x-

5

2

）（x-5），由題意，得

10

3

=a（0-

5

2

）（0-5），
解得：a=

4

15

，
∴拋物線的解析式為：y=

4

15

（x-

5

2

）（x-5），
=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
連接AD交對稱軸于P，設直線AD的解析式為y=kx+b，由題意，得

10 3 =b 0=5k+b

，
解得：

k=- 2 3 b= 10 3

，
∴直線AD的解析式為：y=-

2

3

x+

10

3

，
當x=

15

4

時，
y=

5

6

，
∴P（

15

4

，

5

6

）；

（3）解：存在．
∵S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
∴S_△PDM=

1

2

×

5

2

×

10

3

-

1

2

×

5

2

×

5

6

，
=

25

8

，
∴S_△QAM=

25

8

×

1

6

=

25

48

．
設Q的橫坐標為m，由題意，得

1

2

×

5

2

|m|=

25

48

，
∴|m|=

5

12

，
∴m=±

5

12

，
當m=

5

12

時，

5

12

=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
x₁=

15+5 2

4

，x₂=

15-5 2

4

，
當m=-

5

12

時，
-

5

12

=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
x=

15

4

．
∴Q（

15+5 2

4

，

5

12

），（

15-5 2

4

，

5

12

），（

15

4

，-

5

12

）．

點評：本題考查圓周角定理的運用，勾股定理的運用，圓的切線的判定定理的運用，待定系數法求函數的解析式的運用，拋物線的頂點式的運用，三角形的面積公式的運用，軸對稱性質的運用，解答時求出拋物線的解析式是解答本題的關鍵．