Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點．

小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB．將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉80°，點B的對應點是點E，連接BE，得到△BPE．小明發現，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側．

請你幫助小明繼續探究，并解答下列問題：

（1）當點E在直線AD上時，如圖②所示．

①∠BEP＝　 　°；

②連接CE，直線CE與直線AB的位置關系是　 　．

（2）請在圖③中畫出△BPE，使點E在直線AD的右側，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由．

（3）當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①50°；②AB∥EC；（2）詳見解析；（3）3.

【解析】

（1）①根據∠BPE=80°，PB=PE即可求出答案；②根據“AB＝AC，∠BAC＝100°”，可以得到AE垂直平分線段BC，從而得到EB＝EC，進而得到∠ECB＝∠EBC，即可證得∠ABC＝∠ECB，從而得到答案；

（2）以P為圓心，PB為半徑作⊙P，得到PB＝PC，再根據同弧所對的圓周角是圓心的一半求出∠BCE的度數從而得到答案；

（3）作AH⊥CE于H，點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，當點P運動到與點A重合時，AE取最小值，故而得到答案.

解：（1）①如圖②中，

∵∠BPE＝80°，PB＝PE，

∴∠PEB＝∠PBE＝50°，

②結論：AB∥EC．

理由：∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDE＝90°，

∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，

∵AE垂直平分線段BC，

∴EB＝EC，

∴∠ECB＝∠EBC＝40°，

∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠ABC＝∠ACB＝40°，

∴∠ABC＝∠ECB，

∴AB∥EC．

故答案為50，AB∥EC．

（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．

∵AD垂直平分線段BC，

∴PB＝PC，

∴∠BCE＝∠BPE＝40°，

∵∠ABC＝40°，

∴AB∥EC．

（3）如圖④中，作AH⊥CE于H，

∵點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，

∴當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值＝AB＝3．