Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在坐標軸上，且AO=4，AB=8，∠ABO=30°．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒1個單位的速度運動，設動點P運動時間為t秒．在x軸上取兩點M、N，使△PMN為等邊三角形．
（1）直接寫出A點的坐標；
（2）如圖1，當等邊△PMN的頂點M與原點O重合時，求PM的長；
（3）設等邊△PMN的邊長為a（如圖2），當1≤t≤5時，求y=a2-

1

3

t2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）直接寫出A坐標即可；
（2）求出△APO∽△AOB，得到比例式，代入求出即可；
（3）證BN=PN=MN=a，證△MPB∽△AOB，得到比例式，求出a=

8 3

3

-

3

3

t，代入y求出y=-

16

3

t+

64

3

，根據一次函數的性質求出即可．

解答：解：（1）A點的坐標是（0，4）．

（2）在△AOB中，AB=8，AO=4，由勾股定理得：BO=4

3

，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°-90°-30°=60°，
∵等邊三角形PMN，
∴∠PMN=60°，
∴∠AOP=90°-60°=30°，
∴∠APM=180°-∠BAO-∠AOP=90°=∠AOB，
∵∠OAB=∠OAB，
∴△APO∽△AOB，
∴

PM

OB

=

OA

AB

，

PM

4 3

=

4

8

，
∴PM=2

3

，
答：PM的長是2

3

．

（3）∵等邊三角形PMN，
∴PM=MN=PN，∠PNM=∠PMN=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠NPB=60°-30°=30°=∠ABO，
∴PN=BN=MN=a，
∵∠PMN=60°=∠OAB，∠ABO=∠ABO，
∴△MPB∽△AOB，
∴

BP

OB

=

BM

AB

，
即

8-t

4 3

=

a+a

8

，
解得：a=

8 3

3

-

3

3

t，
∴y=a²-

1

3

t²=(

8 3

3

-

3 t

3

)2-

1

3

t²=-

16

3

t+

64

3

，
∵k=-

16

3

＜0，
∴y隨t的增大而減小，
∵1≤t≤5，
∴當t=1時，y的最大值是：y=-

16

3

×1+

64

3

=16；
當t=5時，y的最小值是：y=-

16

3

×5+

64

3

=-

16

3

；
答：當1≤t≤5時，求y=a2-

1

3

t2的最大值和最小值分別是16，-

16

3

．

點評：本題主要考查對一次函數的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，二次函數的最值，等腰三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能正確運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．