Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=mx²+nx+3經過點A和點（2，3），與x軸的另一交點為C．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）若點P是x軸下方的拋物線上一點，且△ACP的面積為10，求P點坐標；
（3）若點D為拋物線上AB段上的一動點（點D不與A，B重合），過點D作DE⊥x軸交x軸于F，交線段AB于點E．是否存在點D，使得四邊形BDEO為平行四邊形？若存在，請求出滿足條件的點D的坐標；若不存在，請通過計算說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數求出A點坐標，將A點坐標和（2，3）分別代入二次函數解析式y=mx²+nx+3，求出m、n的值即可；
（2）求出拋物線的解析式，求出C點坐標，即可求出AC的長，設出P點坐標，用含P點縱坐標的解析式表示出△ACP的面積，又知道其面積為10，可據此建立關于P點縱坐標的方程，解方程即可；
（3）先假設存在四邊形BDEO為平行四邊形，則有DE=BO，設出D（a，-a²+2a+3），據此即可得出E點坐標的表達式，
由DE=y_D-y_E，可得到關于a的方程，若方程有根，則四邊形BDEO為平行四邊形，否則不是平行四邊形．
解答：解：（1）在y=-x+3中，當y=0，x=3，
∴A（3，0）…（1分）
把A（3，0），（2，3）代入y=ax²+bx+3，
得，
解得，
∴y=-x²+2x+3…（4分），

（2）在y=-x²+2x+3中，當y=0時，有-x²+2x+3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0），
∴AC=4  …（5分），
設P（x_p，y_p）．
∴S_△ACP=，
∴|y_P|=5，
又∵P點在x軸下方，
∴y_P=-5…（7分），
∴-5=-x²+2x+3，
∴x₁=4，x₂=-2，
∴P坐標為（4，-5）或（-2，-5）…（8分）．

（3）不存在…（9分），
∵DE⊥x軸，OB⊥x軸，
∴DE∥OB．
若四邊形BDEO為平行四邊形，則DE=BO．
設D（a，-a²+2a+3），
∵E在直線AB：y=-x+3上．
∴E（a，-a+3），
∴DE=y_D-y_E=-a²+2a+3-（-a+3）=-a²+3a．
當DE=BO時，有-a²+3a=3．…（11分）
即a²-3a+3=0，△=9-12＜0，
∴方程無實數根．…（12分）
即DE≠BO，
∴不存在點D，使四邊形BDEO為平行四邊形．…（13分）
點評：本題考查了二次函數的相關知識，是二次函數綜合題，不僅涉及待定系數法求二次函數解析式，還要知道存在性問題的基本思路．