Question

【題目】在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對角線AC平分∠BAD．

（1）問題發現：如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，求證：AD+AB=AC；

（2）思考探究：如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，則（1）中的結論是否仍成立？請說明理由；

（3）拓展應用：如圖3，若∠DAB=90°，AD=2，AB=3，求線段AC的長度.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）(1)中的結論成立；（3）

【解析】

（1）結論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題；

（2）（1）中的結論成立．以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；

（3）先證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC，進而得出AD+AB＝AC即可解決問題．

（1）AC=AD+AB．

理由如下：如圖1中，

在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB＝AC，同理AD＝AC．

∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的結論成立，

理由如下：以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC為等邊三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，

∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴∠DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA≌△CBE，

∴AD=BE，

∴AE=AD+AB，

在Rt△ACE中，∠CAB=45°，

∴AE＝，

∴AD+AB＝AC．

∴AC=．