Question

【題目】已知等邊三角形ABC中，E是AB邊上一動點（與A、B不重合），D是CB延長線上的一點，且DE=EC．
（1）當E是AB邊上中點時，如圖1，線段AE與DB的大小關系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）當E是AB邊上任一點時，小敏與同桌小聰討論后，認為（1）中的結論依然成立，并進行了如下解答：解：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F
（請你按照上述思路，補充完成全部解答過程）

（3）當E是線段AB延長線上任一點時，如圖3．（1）中的結論是否依然成立？若成立，請證明．若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：∵EF∥BC，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵DE=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB=EF=AE；

（3）

解：如圖3，作EF∥AC交BD于F，

則△BEF為等邊三角形，

∴∠EFB=∠EBF=60°，

∴∠EFD=∠EBC=120°，

∵DE=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

在△DEF和△CEB中，

，

∴△DEF≌△CEB，

∴DF=BC，

∴DF+FB=AB+BE，

∴BD=AE．

【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E是AB邊上中點，
∴AE=BE，∠BCE= ∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
所以答案是：=；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．