Question

【題目】如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板（∠M=30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．

（1）將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周．如圖2，經過t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時ON是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經過多長時間OC平分∠MON？請說明理由；
（3）在（2）問的基礎上，經過多長時間OC平分∠MOB？請畫圖并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=2∠COM=150°，
∴∠COM=75°，
∴∠CON=15°，
∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，
解得：t=15°÷3°=5秒；
②是，理由如下：
∵∠CON=15°，∠AON=15°，
∴ON平分∠AOC
（2）解：15秒時OC平分∠MON，理由如下：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，
設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，
∵∠AOC﹣∠AON=45°，
可得：6t﹣3t=15°，
解得：t=5秒
（3）解：OC平分∠MOB
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，
∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，
設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，
∴∠COM為 （90°﹣3t），
∵∠BOM+∠AON=90°，
可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t），
解得：t=23.3秒；
如圖：

【解析】（1）①根據∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，及平角的定義∠BOC=2∠COM=150° ，故∠COM=75° ，根據角的和差得出∠CON=15°從而得到AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15° ，根據旋轉的速度，就可以算出t的值了；②根據∠CON=15°，∠AON=15°，即可得出ON平分∠AOC ；
（2）15秒時OC平分∠MON，理由如下：∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，從而得出∠CON=∠COM=45°，又三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，根據∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程，求解得出t的值 ；
（ 3）根據∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，及三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，故設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，從而得到∠COM為 （90°﹣3t），又∠BOM+∠AON=90°，從而得出含t的方程，就能解出t的值 。