Question

如圖，不重合的A（2，n）、B（n，2）兩點在y=

n+4

x

（x＞0）反比例函數的圖象上，BC垂直于y軸于點C．
（1）求n的值；
（2）判斷△ABC的形狀；
（3）若存在點P（m，0），使△PAB是直角三角形，求出滿足條件的所有m的值．

Answer 1

（1）把A（2，n）代入y=

n+4

x

（x＞0）得：2n=n+4，
解得：n=4；

（2）△ABC為等腰直角三角形，理由為：
過A作AE⊥x軸，交BC于點D，
由（1）可知：A（2，4），B（4，2），
∵BC⊥y軸于點C，
∴點C（0，2），
∴CD=BD=AD=DE=2，
∴△ACD與△ABD都為等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAD=45°，即∠CAB=90°，
∵AC=AB=2

2

，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（3）連接BE，
∵AD=DE=BD=2，BD⊥AE，
∴△ABD與△BDE都為等腰直角三角形，即∠ABD=∠EBD=45°，
∴∠ABE=90°，AB=BE=2

2

，
則當P與E重合時，△PAB為直角三角形，此時P坐標為（2，0）；
延長AC與x軸交于點P，連接PB，此時∠PAB=90°，△PAB為直角三角形，
設直線AC解析式為y=kx+b，
將A與C坐標代入得：

2k+b=4 b=2

，
解得：

k=1 b=2

，
∴直線AC解析式為y=x+2，
令y=0，求得：x=-2，即P（-2，0），
綜上，m的值為2或-2．