Question

【題目】小明學習了特殊的四邊形---平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是 ．

(2)性質探究：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究兩組對邊AB、CD與BC、AD之間的數量關系．

(3)問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．

①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；

②直接寫出四邊形BCGE的面積．

Answer 1

【答案】（1）菱形、正方形；（2）；（3）①見詳解；②.

【解析】

（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質即可得出結論；

（2）利用勾股定理，分別求出，，，，然后即可得到結論；

（3）①連接CG、BE，證出∠GAB=∠CAE，由SAS證明△GAB≌△CAE，得出BG=CE，∠ABG=∠AEC，再由角的互余關系和三角形內角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；

②根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合面積公式計算即可．

解：（1）∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，

∴菱形和正方形一定是垂美四邊形；

故答案為：菱形、正方形；

（2）設AC與BD相交于點O，

由勾股定理，得：

，；

，；

∴，

；

∴；

（3）①證明：連接CG、BE，如圖2所示：

∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，

∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，AB=AE，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，

又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，

∴BG⊥CE，

∴四邊形BCGE為垂美四邊形；

②解：∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB=5，

∴BC=，

∴BF=BC+CF=7，

在Rt△BFG中，BG=，

∴CE=BG=，

∵四邊形BCGE為垂美四邊形，

∴四邊形BCGE的面積=△BCE的面積+△GCE的面積

=

=

=

=；