Question

如圖，已知⊙O的圓心O在射線PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B兩點同時從P點出發，點A沿PN方向移動，點B以4cm/s的速度沿PM方向移動，且直線AB始終垂直PN．設運動時間為t秒，求下列問題．（結果保留根號）

（1）求PQ的長
（2）當t為何值時直線AB與⊙o相切？

Answer 1

(1)；（2）或．

試題分析：（1）連接OQ，由PN切⊙O于Q，根據切線的性質可得OQ⊥PN，又由PO=20cm，∠P=30°，即可求得PQ的長；
（2）作OE⊥BA于E，由BA⊥PN，即可得四邊形AHOQ是矩形，當矩形AEOQ是正方形時，直線BA與⊙O相切．即可求得PB與BA的長，然后分別從當PQ﹣PA=OQ時，直線BA第一次與⊙O相切與當PA﹣PQ=OQ時，直線BA第二次與⊙O相切去分析求解，即可求得答案．
試題解析：（1）解：連結OQ，如圖1

∵PN與⊙O相切于點Q，∴OQ⊥PN，∵∠P=30°，OP=20，∴OQ=10，在Rt△OPQ中，
；
（2）解：設運動t秒，BP=4t，則AB=，AP=，
①如圖2，當AB與⊙O切于點E時，連結OE，

∴OE⊥AB，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四邊形AEOQ是矩形，
∴OE=AQ=10，∴，∴，
②如圖3，當A′B′與⊙O相切于點F時，連結OF，
∴OF⊥A′B′，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四邊形A′FOQ是矩形，∴OF=A′Q，∴，
∴，∴當t為秒或秒時，直線AB與⊙O相切．