Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對稱中心O處有一釘子．動點P，Q同時從點A出發，點P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度運動，到點C停止，點Q沿A?D方向以每秒1cm的速度運動，到點D停止．P，Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋連接，設x秒后橡皮筋掃過的面積為ycm²．
（1）當0≤x≤1時，求y與x之間的函數關系式；
（2）當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x值；
（3）當1≤x≤2時，求y與x之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時∠POQ的變化范圍；
（4）當0≤x≤2時，請在給出的直角坐標系中畫出y與x之間的函數圖象．

Answer 1

（1）當0≤x≤1時，AP=2x，AQ=x，y=

1

2

AQ•AP=x²，
即y=x²．

（2）當S_{四邊形ABPQ}=

1

2

S_{正方形ABCD}時，橡皮筋剛好觸及釘子，
BP=2x-2，AQ=x，

1

2

（2x-2+x）×2=

1

2

×2²，∴x=

4

3

．

（3）當1≤x≤

4

3

時，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=

AQ+BP

2

•AB=

x+2x-2

2

×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E為垂足．
當

4

3

≤x≤2時，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S_梯形BEOP+S_梯形OEAQ=

1+2x-2

2

×1+

1+x

2

×1=

3

2

x，
即y=

3

2

x．（6分）
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如圖所示：
．