Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于，兩點，與軸交于點，為頂點．

求直線的解析式和頂點的坐標；

已知，點是直線下方的拋物線上一動點，作于點，當最大時，有一條長為的線段（點在點的左側）在直線上移動，首尾順次連接、、、構成四邊形，請求出四邊形的周長最小時點的坐標；

如圖，過點作軸交直線于點，連接，點是線段上一動點，將沿直線折疊至，是否存在點使得與重疊部分的圖形是直角三角形？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】直線的解析式為，點坐標． ．存在．當與重疊部分的圖形是直角三角形時，的長為或或．

【解析】

(1)分別令x=0和y=0可求解出ABC三點的坐標，利用待定系數法求解直線AC的解析式；將二次函數一般式化為頂點式即可求解D點坐標；

(2)由于AC長度固定，故當PR最大時，△APC的面積最大，由圖像可知，設P(m，m2+2m-3)，代入其中可求解m從而確定P點坐標；將點沿方向平移個單位得到，作點關于直線的對稱點，連接交于，此時四邊形的最長最小；

(3)分三種情況進行討論：當時，重疊部分是RT△FKQ；當時，重疊部分是RT△FQD；、當時，重疊部分是RT△QMF.

對于拋物線，令，得，解得或，

∴，，

令，得，

∴，

∵拋物線，

∴頂點坐標為，

設直線的解析式為，則有，解得，

∴直線的解析式為，點坐標．

如圖中，設

由題意，當最大時，的面積最大，即四邊形的面積最大，

∵

，

∴當時，四邊形的面積最大，即最長，

∴，

將點沿方向平移個單位得到，作點關于直線的對稱點，連接交于，此時四邊形的最長最小，

∵直線的解析式為，直線的解析式為，

由解得，

∴，

∵，

∴，

∴直線的解析式為，

由解得，

∴，將點向下平移個單位，向右平移個單位得到，

∴．

存在．

①如圖中，當時，重疊部分是，作于．

由題意可求得，容易求得，，，，CD=

∵AD2=20=AC2+CD2,

∴∠ACD=90°，

∴，

∴，

∴

∴，，

∴，設，

在中，，

∴，

∴

②如圖中，當時，重疊部分是，此時．

③如圖中，當時，重疊部分是．

設，在中，，

∴，

∴．

綜上所述，當與重疊部分的圖形是直角三角形時，的長為或或．