Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠CAD．

（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

因為OA=OC，

所以∠BAC=∠ACO．

因為AC平分∠BAD，

所以∠BAC=∠CAD，

故∠ACO=∠CAD．

所以OC∥AD，

又已知AD丄MN，

所以OC丄MN，

所以，直線MN是⊙O的切線

（2）

解：已知AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，

又AD丄MN，

則∠ADC=90°．

因為CD=3，∠CAD=30°，

所以AD=3 ，AB=6

在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，

所以Rt△ABC∽Rt△ACD，

則 ，

則AB=4 ，

所以⊙O的半徑為2

【解析】（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據切線的判定推出即可；（2）求出AD、AC長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可．本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質，平行線性質，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質的相關知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．