Question

如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的圓的圓心在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于四點．拋物線與軸交于點，與直線交于點，且分別與圓相切于點和點．

【小題1】求拋物線的解析式；
【小題2】拋物線的對稱軸交軸于點，連結，并延長交圓于，求的長．
【小題3】過點作圓的切線交的延長線于點，判斷點是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

【小題1】因為圓心在坐標原點，圓的半徑為1，
點的坐標分別為
因為拋物線與直線交于點，且分別與圓相切于點和點，
．············································································ 2分
因為點在拋物線上，將的坐標代入
，得：  解之，得：
拋物線的解析式為：．       4分
【小題2】因為，拋物線的對稱軸為，

．················ 6分
連結，
，，
又，
.所以EF=.
【小題3】設直線DC與過點B的切線交于點P.直線DC解析式為y=kx+b，將D(0,1)、C（1,0）代入y=kx+b，求得y=－x+1.
又因為點P的縱坐標為－1，所以橫坐標為2.
所以點P坐標為（2，,1）.
當x=2時，y=－x²+x+1=－4+2+1=－1，所以點P在拋物線上解析:
（1）根據題意易得點A、B、C、D的坐標.根據切線的性質得點M、N的橫坐標，代入y=x求出點M、N的縱坐標，利用三點D、M、N的坐標求出拋物線的解析式.（2）易得點E的坐標和DF的長度.利用直徑所對的圓周角是直角，從而得出，求出DF的長，進而求出EF的長.（3）利用D、C兩點坐標求出直線DC解析式. 設直線DC與過點B的切線交于點P，得到P點的縱坐標.將P點縱坐標代入直線解析式求出點P的橫坐標，得到P點的坐標.然后判定點P是否在拋物線上.