Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+42交x軸與點A，交直線y=x于點B，拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．
（1）求點C、D的縱坐標．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點，且P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點，PQ⊥x軸，設P、Q兩點之間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點C在直線AB：y=-2x+42上，將C點的橫坐標代入即可求出C點的縱坐標，同理可知：D點在直線OB：y=x上，將D點的橫坐標代入解析式即可求出D點的縱坐標；
（2）拋物線y=ax²-2x+c經過C、D兩點，列出關于a和c二元一次方程組，解出a和c即可；
（3）根據Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，則可以求出Q點的坐標，又知P點在拋物線上，求出P點的坐標，P、Q兩點的橫坐標的差的絕對值即為線段PQ的長；
（4）根據PQ⊥x軸，可知P和Q兩點的橫坐標相同，都為m，用含m的代數式分別表示P、Q兩點的坐標，求出B點的坐標，分兩種情況討論：①Q是線段OB上的一點；②Q是線段AB上的一點．分別求出d與m之間的函數解析式，根據二次函數的性質，即可求出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

解答：解：（1）∵點C在直線AB：y=-2x+42上，且C點的橫坐標為16，
∴y=-2×16+42=10，即點C的縱坐標為10；
∵D點在直線OB：y=x上，且D點的橫坐標為4，
∴點D的縱坐標為4；

（2）由（1）知點C的坐標為（16，10），點D的坐標為（4，4），
∵拋物線y=ax²-2x+c經過C、D兩點，
∴

256a-32+c=10 16a-8+c=4

，
解得：

a= 1 8 c=10

．
∴拋物線的解析式為y=

1

8

x²-2x+10；

（3）∵Q為線段OB上一點，縱坐標為5，
∴Q點的橫坐標也為5，
∵點P在拋物線上，縱坐標為5，
∴

1

8

x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2

6

，x₂=8-2

6

．
當點P的坐標為（8+2

6

，5），點Q的坐標為（5，5），線段PQ的長為2

6

+3；
當點P的坐標為（8-2

6

，5），點Q的坐標為（5，5），線段PQ的長為2

6

-3．
所以線段PQ的長為2

6

+3或2

6

-3；

（4）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q兩點的橫坐標相同，都為m，
∴P（m，

1

8

m²-2m+10），Q（m，m）（此時Q在線段OB上）或Q（m，-2m+42）（此時Q在線段AB上）．
由

y=x y=-2x+42

，
解得

x=14 y=14

．
∴點B的坐標為（14，14）．
①當點Q為線段OB上時，如圖所示，
在OD段，即當0≤m＜4時，d=（

1

8

m²-2m+10）-m=

1

8

m²-3m+10=

1

8

（m-12）²-8，d隨m的增大而減小；
在BD段，即當4≤m≤14時，d=m-（

1

8

m²-2m+10）=-

1

8

m²+3m-10=-

1

8

（m-12）²+8，
在對稱軸右側，d隨m的增大而減小，即當12＜m≤14時，d隨m的增大而減小．
則當0≤m＜4或12≤m≤14時，d隨m的增大而減小；
②當點Q為線段AB上時，如圖所示，
在BC段，即當14≤m＜16時，d=（-2m+42）-（

1

8

m²-2m+10）=-

1

8

m²+32，
在對稱軸右側，d隨m的增大而減小，即當14≤m＜16時，d隨m的增大而減小；
在CA段，即當16≤m≤21時，d=（

1

8

m²-2m+10）-（-2m+42）=

1

8

m²-32，
在對稱軸左側，d隨m的增大而減小，m不滿足條件．
綜上所述，當0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求二次函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征，平行于坐標軸上的兩點之間的距離，二次函數的增減性，難度中等，解題關鍵是運用數形結合及分類討論的思想．