Question

如圖3，在中，，，兩點分別在上，，，將繞點順時針旋轉，得到（如圖4，點分別與對應），點在上，與相交于點．

（1）求的度數；
（2）求證：四邊形是梯形；
（3）求的面積．

Answer 1

（1）30°
（2）證明略
（3）略

分析：（1）根據已知條件容易知道△EDC是等腰直角三角形，也容易求出CE，然后在Rt△ACE解直角三角形就可以求出∠ACE，
（2）根據（1）的結論和已知條件可以證明△D′CA∽△E′CB，再利用相似三角形的性質就可以證明四邊形ABCD′是梯形；
（3）AD′M的面積不能直接求出，要采用面積的割補法，首先確定S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M，然后分別求出
它們的面積，其中求S_△C′DM比較復雜，還要利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方這個結論，最后才能求出△AD′M的面積．
解答：（1）解：如圖1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，∴DE=CD=2，∴CE=CE′=4．
如圖2，在Rt△ACE中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4，∴cos∠ACE′=，∴∠ACE′=30°．
（2）證明：如圖2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°，∴∠D′CA=∠E′CB=15°，
又，∴△D′CA∽△E′CB． ∴∠D′AC=∠B=45°，∴∠ACB=∠D′AC，∴AD′∥BC．
∵∠B=45°，∠D′CB=60°，∴∠ABC與∠D′CB不互補，∴AB與D′C不平行．
∴四邊形ABCD′是梯形．

（3）解：在圖②中，過點C作CF⊥AD′，垂足為F．∵AD′∥BC，∴CF⊥BC．
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°．在Rt△ACF中，AF=CF=，∴S_△ACF=3，
在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°，∴D′F=，
∴S_△D′CF=．同理，S_Rt△AE′C=2，S_{Rt△D′E′C}=4． ∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，
∴△AME′∽△D′MC．．
①∴S_△AE′M=S_△CD′M．②∵S_△EMC+S_△AE′M=S_△AE′C=2，
③S_△E′MC+S_△CD′M=S_△D′EC=4．由③-②，得S_△C′DM-S_△AE′M=4-2，
由①，得S_△CD′M=8-4，∴S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M=3-5．∴△AD′M的面積是3-5．
點評：此題綜合性比較強，難度比較大，考查的知識點比較多，有等腰直角三角形的性質、相似三角形的性質與判定、面積的割補法和解直接三角形等．